1 Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве принять за норму элемента : A ; B ; C D E A Можно, так как: 3 B Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы : — произвольная константа С Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы Возьмем но тогда D Можно, так как: и Так как, константа, но, следовательно, Обратное утверждение очевидно
2 3 E Можно, так как:, утверждение очевидно непрерывности Обратное 3 3 Будет ли множество всех многочленов в пространстве A открытым; B замкнутым? A М ножество всех многочленов в пространстве не является открытым, так как по теореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить средними Чезаро, которые не являются алгебраическими многочленами Следовательно, окрестность любой точки множества содержит элемент, множеству не принадлежащий B М ножество всех многочленов в пространстве не является замкнутым Рассмотрим пример, функцию можно приблизить частичными суммами ряда Тейлора, которые являются алгебраическими многочленами Следовательно, множество всех многочленов в пространстве не содержит всех предельных точек, значит оно не является замкнутым 4 Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство По определению линейным подпространством, принадлежащим линейному нормированному пространству, называется линейное многообразие, если оно замкнуто относительно сходимости по норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейном нормированном пространстве конечномерное линейное многообразие — замкнуто Докажем от противного Пусть Рассмотрим функцию Рассмотрим, Возьмем произвольный и рассмотрим замкнутый шар Обозначим Тогда Множество конечномерное, замкнутое, ограниченное Функция согласно неравенству треугольника Следовательно, Однако
3 это противоречит предположению, что Следовательно замкнуто и является подпространством 5 Пусть линейное нормированное пространство, линейное многообразие, Доказать, что не содержит никакого шара Докажем от противного Пусть : шар Рассмотрим : Возьмем, где так как принадлежит шару Следовательно,, а значит и Таким образом, пришли к противоречию 6 Образуют ли в пространстве подпространство следующие множества функции: A монотонные функции B четные функции; C многочлены; D непрерывные кусочно- линейные функции? A Не образуют, так как если рассмотреть, то — не является монотонной B Множество четных функций образует линейное многообразие, так как Докажем, что замкнуто от противного Пусть, тогда, но, следовательно, противоречие Следовательно, множество четных функций образуют подпространство C Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространстве не является замкнутым D Не образуют, так как множество непрерывных кусочно- линейных функций не является замкнутым в Рассмотрим Введем обозначения : Рассмотрим последовательность функций : Покажем, что Рассмотрим, Таким образом, Следовательно, не является замкнутым Таким образом, 7 Образуют ли в пространстве C [-, ] подпространство следующие множества функций:
4 A многочлены степени k; B непрерывно дифференцируемые функции; C непрерывные функции с ограниченной вариацией; D функции, удовлетворяющие условию? A Да Множество многочленов степени представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит из векторов Следовательно, множество многочленов степени является конечномерным линейным многообразием в линейном нормированном пространстве, а значит по задаче 4 доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство является подпространством B Нет Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто относительно нормы пространства Рассмотрим где Покажем, что она непрерывное дифференцируема: Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен — Аналогично получаем, что Итого получаем непрерывную на отрезке производную: Покажем, что
5 То есть получили, что, но не является непрерывно дифференцируемой функцией Значит, множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто, следовательно, не является подпространством C Нет Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто относительно нормы пространства Рассмотрим Покажем, что непрерывна При очевидно При надо показать, что : Покажем, что вариация на отрезке При суммировании вариаций по полуинтервалам получаем Рассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией: Покажем, что по норме: То есть получили, что, но не является функцией с ограниченной вариацией Значит, множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто, следовательно, не является подпространством D Да Множество функций, удовлетворяющих условию, представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно
6 операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством Докажем замкнутость Рассмотрим 8 Пусть X линейное нормированное пространство, множество фиксировано Доказать, что непрерывное отображение Опр Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то говорят, что f непрерывно на X Опр Каждому элементу ставится в соответствие некоторый элемент из Y Это отображение называется непрерывным в точке, если для каждого существует такое, что для всех таких, что выполнено неравенство здесь — расстояние в X, а — расстояние в Y Фиксируем Докажем, что для произвольных будет выполнено Пусть — минимизирующая последовательность для, то есть По неравенству треугольника: Аналогично Следовательно, Следовательно, отображение непрерывное по определению 9 Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым Обозначим E конечномерное линейное нормированное пространство Возьмем фундаментальную последовательность элементов, где базис пространства E
7 Т к для любого все его его координаты удовлетворяют неравенству, где H постоянная, зависящая только от выбора базиса в E лемма 53 из Вулих Б З «Введение в функциональный анализ», то Следовательно, конечные благодаря полноте множества вещественных чисел существуют Лемма 53 из Вулих Б З «Введение в функциональный анализ»: Сходимость по координатам влечет сходимость по норме Именно, пусть и Если при каждом а, то По этой лемме получаем Таким образом, полнота E доказана, т е оно банахово Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховым пространством Рассмотрим фундаментальную последовательность в подпространстве банахова пространства норма в берется такая же, как и в Эта последовательность является фундаментальной и в, т к — подпространство Поскольку банахово, то Так как подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто, следовательно, Получили, что произвольная фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к Следовательно, — банахово по определению Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых вложенных множеств? Да, может Пример: банахово пространство пространство вещественных чисел и последовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем : Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых элементов имеет место тождество Аполлония : Преобразуем левую часть тождества, пользуясь свойствами скалярного произведения:
8 Преобразуем правую часть тождества, пользуясь свойствами скалярного произведения: Таким образом, в пространстве со скалярным произведением для любых элементов тождество Аполлония имеет место 3 Доказать, что для того чтобы элемент гильбертового пространства был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента имело место неравенство Решение необходимо сть Решение достаточно сть Воспользуемся теоремой Леви — гильбертово, — подпространоство в нем Разложим указанным в ней способом : По условию Докажем, что Пусть 4 Доказать, что при фиксированном натуральном множество является подпространством пространства Описать такое подпространство, что Решение Покажем, что является линейным многообразием Построим разложение Пространство является гильбертовым, является подпространством в нем по следствию из теоремы Леви Построим Покажем, что Действительно,
9 Покажем, что Действительно, Итак, мы показали, что необходимым условием того, что является представление в виде Очевидно, что это является и достаточным условием, так как Итак, искомое пространство L является линейной оболочкой вектора 5 В пространстве рассмотрим последовательность, Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна в пространстве Решение Докажем, что лишь нулевой элемент пространства ортогонален всем элементам множества от противного Получаем Полученное противоречие доказывает, что изначальное утверждение было неверно Итак, мы доказали, что Так как является гильбертовым, то из доказанного выше утверждения следует, что — всюду плотное множество 6 Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы: Решение для В силу свойств производной получаем
10 Получаем, что оператор линеен Докажем ограниченность оператора В силе линейности оператора достаточно доказать, что оператор переводит замкнутый единичный шар с центром в нуле в пространстве в ограниченное множество в пространстве Итак, мы получили, что — линейный и ограниченный Найдем его норму Ранее было полученно, что Покажем, что Рассмотрим последовательность функций Итак, мы получили максимизирующую последовательность элементов из, показывающую, что Решение для Докажем линейность оператора В силу линейности интеграла Лебега получаем Получаем, что оператор линеен Докажем ограниченность оператора В силе линейности оператора достаточно доказать, что оператор переводит замкнутый единичный шар с центром в нуле в пространстве в ограниченное множество в пространстве Итак, мы получили, что — линейный и ограниченный Найдем его норму Ранее было полученно, что Покажем, что Возьмем Тогда получаем Так как мы показали, что и 7 Пусть и — линейные нормированные пространства, — линейный оператор с областью изменения Доказать, что — линейное многообразие в Всегда ли — подпространство в Решение линейное многообра з и е
11 Для доказательства того, что является линенйным многообразием необходимо доказать, что Таким образом, получаем что является линенйным многообразием Решение подпростран ство Докажем, что не всегда является подпространством Для этого построим линейный оператор, такой, что не является замкнутым множеством дифференцируемых Рассмотрим последовательность непрерывно функций Но Таким образом, получаем что не всегда есть подпространство 8 Доказать, что в банаховом пространстве для любого определены операторы Решение По теореме 3 7 пространство линенйных непрерывных операторов в банаховом пространстве само является банаховым, то есть любая фундаментальная последовательность элементов из этого пространства сходится к элементу этого же пространства Рассмотрим операторную последовательность Так как, то является линейным непрерывным оператором Докажем, что так же является линенйным непрерывным оператором является непрерывным как композиция конечного числа непрерывных операторов
12 Итак, — линейный непрерывный оператор для любого Докажем фундаментальность последовательности Последняя сумма представляет собой хвост сходящегося ряда Итак последовательность является фундаментальной Следовательно она сходится к своему пределу, которые принадлежит этому же пространству Следовательно в пространстве определен оператор являющийся пределом операторной последовательности Для второго случае все полностью аналогично 9 Пусть X банахово пространство, A L X X Доказать, что I, где I тождественный оператор A A Найти A A По определению,, A L X X /*в пдф-ке в числителе была норма А*/! A k A k k k! k k! k k! k k! k k! k k! что следует из сходимости ряда в смысле нормы в L X X A k A k A k A k k A, т к k! k, Утверждение доказано Найдем I по определению: k I I I I k! k! k! k! k k k k k k!, X I I Рассмотрим оператор A : C[,] C[,] d A с областью определения d D A линейное многообразие дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям ‘ Найти A и доказать, что он ограничен Обозначим d / d, d / d Тогда задача примет вид :
13 d / d, d / d, ; Или dx d BX Y, где X,, Y,, B По теореме Каратеодори /*нафига тут говорить об этой теореме?*/ задача Коши dx / d BX X X ; Y, [, ], где Y интегрируема по Лебегу, имеет единственное решение в классе абсолютно непрерывных функций и это решение дается формулой X B sb X Y s ds решение задачи выглядит так: sb Y s ds B X X, cos si B cos s si s, sb si cos si s cos s Тогда cos ssi s ds si scos s ds Заметим, что cos cos ssi s ds si s ds si si scos s ds cos s ds 4 т е обратный оператор ограничен s Рассмотрим оператор A : C[,] C[,], A s ds Существует ли оператор A? Решение. неверное. опечтка в условии: По определению A, если! решение задачи A Пусть N A
14 s s s s ds s ds s ds s s ds s s s [,] s s [,] N A Пусть, C[,]: A A Тогда A A, A,, Рассмотрим оператор A : C[,] C[,], A τ dτ Пусть N A ядро оператора A A Доказать, что N A , так что при любом C[,] уравнение A не может иметь более одного решения B Найти оператор A и доказать, что он ограничен А /*решил я сам, так что возможны баги*/ N A τ dτ τ dτ c c c τ dτ τ c dτ c и c c c Следовательно, и N A Б Пусть τ dτ
15 Тогда ‘ u u, где d u τ τ Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном : c u, ‘ c d c τ τ τ d d c u A τ τ τ τ τ τ d d A τ τ τ τ τ τ, т е обратный оператор ограничен 3, Доказать что оператор ] [, [,] : C C A, ds s A s имеет, ограниченный обратный и найти A Пусть ds s s, или ds s s Обозначим ] [ ds s D s Тогда ] [ D Нужно выразить функционал ] [ D через Умножим последнее уравнение на и проинтегрируйте по от до Получим ] [ ] [ d D d D Отсюда ] [ d d D Окончательно, ds ds s A s s
16 A s s ds s ds ограничен s s ds s ds, т е обратный оператор /*в случае если в условии верхний предел интегрирования:, а не */ s Пусть s ds Тогда s u u’, где u s ds Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном : u c, c’ c s s ds A u c s s ds s s ds A ограничен s s ds *, т е обратный оператор 4 Пусть X комплексное линейное пространство, f определенный на X и не равный тождественно нулю линейный функционал Доказать, что область значений f есть все C Нужно доказать, что c C X : f c Известно, что dim C Если доказать, что R f область изменения линейного функционала f содержит линейно- независимых вектора, то с учетом линейности функционала мы получим все C, так как C a b, a, b R;, базис в > Пусть i X
17 5 Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы: A ; B A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти функцию, на которой, то равна 4 Рассмотрим, а Значит, B Докажем линейность: Покажем, что функционал ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Функция будет равна: Значит,
18 6 Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы: A ; B где, A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти функцию, на которой, то равна Рассмотрим: Заметим, что Значит, B Докажем линейность функционала: Покажем ограниченность функционала: Значит, — ограниченный и непрерывный — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает 3, равна 3 Рассмотрим: то
19 Функция будет равна: Заметим, что Значит, 7 Будут ли ограниченными в пространстве следующие линейные функционалы: A ; B? A B 8 Доказать, что следующие функционалы являются линейными непрерывными и найти их нормы: A, ; B, A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный
20 — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Функция будет равна: Заметим, что Значит, B Докажем линейность функционала: Покажем ограниченность функционала: — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Заметим, что Значит, 9 Доказать, что функционал, является линейным непрерывным, и найти его норму Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если
21 Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти последовательность, на которой, то равна Рассмотрим Заметим, что Значит, 3 Для положим Доказать, что ограниченный линейный функционал Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Оператор ограниченный, если Докажем ограниченность функционала: 3 Найти сопряженный к оператору, если A B Решение A Положим, тогда пространство — гильбертово В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору, если Рассмотрим скалярное произведение : Таким образом,
22 B Рассмотрим скалярное произведение : Тогда сопряженный оператор имеет вид : 3 Найти сопряженный к оператору, если A B при Решение A В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору, если Комплексное пространство является гильбертовым, если положить Рассмотрим скалярное произведение : Таким образом, B Рассмотрим скалярное произведение : Тогда 33 Найти сопряженный к оператору, если: Решение A ; B, при A В гильбертовом пространстве H теорема Рисса- Фреше, Теорема дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор Комплексное пространство становится гильбертовым, если выбрать скалярное произведение как: Сходимость этого ряда следует из неравенства Коши- Буняковского: Рассмотрим:
23 Таким образом, сопряженный оператор имеет вид: B Рассмотрим: Таким образом, сопряженный оператор имеет вид: 34 Какие из следующих операторов являются вполне непрерывными: Решение A ; B ; C ; D ; E? A Ответ: Нет Оператор является вполне непрерывным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное Воспользуемся критерием компактности в, Теорема Для того, чтобы множество непрерывных функций из было компактным необходимо и достаточно: ; Рассмотрим функцию: При этом функция:, т к и не является равномерно непрерывной, т к
24 не является ограниченной на Значит, оператор не является вполне непрерывным B Ответ: Да Воспользуемся доказательством критерия компактности в Если функция, то является вполне непрерывным В данном случае Значит, оператор является вполне непрерывным C Ответ: Да — непрерывно дифференцируема на Значит, равностепенная непрерывность равносильна равномерной ограниченности ее производной Заметим, что — ограничена на в силу непрерывности Значит, оператор является вполне непрерывным D Ответ: Да Воспользуемся доказательством критерия компактности в Если функция, то является вполне непрерывным В данном случае Значит, оператор является вполне непрерывным E Ответ: Нет Рассмотрим функцию
25 , но не является равностепенно непрерывной, т к не является ограниченной на Значит, оператор не является вполне непрерывным 35 Будет ли вполне непрерывным оператор A : C[,] C[,], A [ ]? Нет, не будет Пусть C[, ] четная функция Тогда A Возьмем si Тогда, как рассмотрено в задаче 34 пункт Е, A имеет неограниченную производную на множестве [,,] оператор не является вполне непрерывным 36 При каком условии на функцию ϕ C[,] оператор A : C[,] C[,], A ϕ будет вполне непрерывным? Докажем, что искомым условием на функцию ϕ является условие ϕ, [,] Пусть это не так, т е,]: ϕ [ Тогда в силу свойств непрерывных функций δ > : ϕ, [ δ, ] δ Не ограничивая общности, будем полагать, что ϕ всюду в окрестности точки случай ϕ 26 Имеем Aδ δ Aδ δ ϕ δ C >, где C cos, δ [, δ, т к ϕ C Итак, δ, δ δ C[,]: A δ A δ C > образ замкнутого единичного шара из пространства C [,] при отображении А не есть равностепенно непрерывное множество функций А не является вполне непрерывным оператором Мы пришли к противоречию ϕ, [,] d 37 Будет ли вполне непрерывным оператор A, если он рассматривается как d действующий: А A : C [,] C[,] ; B A : C [,] C [,] ; C A : C [,] C[,]? А Рассмотрим последовательность S [,] C, si cos d si Тогда A и A Т е A — d d неограниченная последовательность при Следовательно, образ замкнутого единичного шара из пространства C [,] при отображении А не является равностепенно непрерывным множеством функций оператор А не вполне непрерывный B Ответ: нет Рассмотрим последовательность S [,] cos, [,] 3 d cos A d 3 Тогда d C, si A 3 и Очевидно, что последовательность сильно сходится к, а значит и слабо при Тогда докажем, что из нельзя выделить фундаментальную последовательность в C [,] Пусть это не так и фундаментальная последовательность k Тогда ma [,] k ma [,] k k k A По признаку Коши имеем: ma ma [,] [,] k, p Из k p k k p k сходимости первого слагаемого к вытекает необходимость сходимости второго, т е
27 cos k p cos k k p k k p k ma si si [,] k, p k, p 3 3 А это не так Значит, получили противоречие оператор А не вполне непрерывный С Ответ: да Рассмотрим образ F множества C [,] пространстве S F равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно в силу ограниченности множества производных Согласно теореме Арцела, F компактно А значит, оператор А вполне непрерывный 38 Сформулировать критерий компактности в l p Какие из следующих операторов A : l l вполне непрерывны при,, : А A. ; A ; 3 3 A. 3 3 B. C Критерий компактности в необходимо и достаточно, l p : Для компактности замкнутого множества K lp чтобы множество K было ограниченным и чтобы ε > p ε N : ξ i 28 B Ответ: оператор является вполне непрерывным Для доказательства этого покажем, что образ F замкнутого единичного шара из является компактным множеством, для чего воспользуемся критерием компактности в l p Ограниченность очевидна, поскольку A F имеем: Ограниченность F доказана Чтобы доказать его замкнутость, докажем, что A непрерывный оператор, тогда, в силу замкнутости шара, получим замкнутость F Пусть Тогда k k k k A A k k k Следовательно, оператор А непрерывный Условие критерия компактности множества в l p проверяется так: k Ak k k k k k и любом ε С Ответ: оператор является вполне непрерывным Доказательство совершенно аналогично доказательству предыдущего пункта со смещением индексов последовательности на 39 Доказать, что оператор,, A : l l, A λ, λ, l, где λ R, k N, sup 29 d d A,, A * Отсюда вытекает, что A A Далее: d A, d Следовательно, оператор А неотрицательный 4 Доказать, что оператор : L [,] L[,] самосопряжённым и неотрицательным Рассмотрим скалярное произведение: s A, A s ds s s s s ds d d s ds s ds d является A,, A Следовательно, * A A Далее: s s s ds d s ds * d A, d Следовательно, оператор А неотрицательный 4 Пусть R h, A : L, L,, h фиксировано Доказать, что разностный оператор h h A h * удовлетворяет соотношению A A Рассмотрим скалярное произведение: h h h A, d d h h h h s s ds s s ds h Отсюда вытекает, что A A * h h h d h d, A 43 Пусть самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, причем Доказать, что если существует ограниченный оператор, то обратный оператор тоже самосопряжен Поскольку ограниченный, то Тогда
30 44 Пусть — ограниченный самосопряженный оператор, Доказать, что оператор существует Предположим, что Тогда Рассмотрим скалярное произведение и воспользуемся самосопряженностью оператора : Следовательно, предположение верно только при Отсюда очевидно следует обратимость оператора 45 Рассмотрим оператор, для Доказать, что самосопряжен в и Найти оператор В гильбертовом пространстве оператор является самосопряженным, если выполнено Пространство становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить Сходимость этого ряда для любых и из вытекает из неравенства Буняковского для рядов Рассмотрим скалярное произведение Таким образом, оператор является самосопряженным Далее : Теперь рассмотрим оператор Очевидно, Значит, 46 В вещественном линейном пространстве найти собственные значения и собственные векторы оператора: А ; В Решение значениями оператора являются: следовательно, если, то собственными Собственные вектора — четные функции Собственные вектора — нечетные функции Решение Исходя из этого будет искать собственные вектора в виде Таким образом получаем, что — собственный вектор, отвечающих собственному значению 47 В пространстве рассмотрим оператор Найти
31 Видно, что при резольвента не существует, поэтому Пусть теперь, тогда Таким образом, при резольвента не существует, поэтому Спектр оператора —, при остальных значениях : 48 Рассмотрим оператор для, где Найти Домрина, Леонтьева, задача 6 Очевидно, Пусть Тогда для любого определен, причем, что доказывает регулярность значения Значит, 49 Доказать, что оператор для, вполне непрерывен и найти его спектр Непрерывность: А непрерывен проверяется по определению действует в конечномерное пространство > он вполне непрерывен образ ограниченного множества компактен по т Больцано Вейерштрасса См Теорема Треногин, параграф, т3 и следствие из неё Спектр : Решая систему, получим, что при любом её решение вектор — точка остаточного спектра, т к только нулевой 5 Доказать, что оператор вполне непрерывен и найти его спектр Оператор вполне непрерывный, т к он интегральный по доказанному на лекциях Так как, где, собственные векторы надо искать в виде Но тогда, и собственных векторов у оператора нет, и весь спектр состоит из точки
32 5 Доказать, что оператор вполне непрерывен и найти его спектр Оператор вполне непрерывный, т к он интегральный по доказанному на лекциях Поэтому собственный элементы A нужно искать в виде Откуда Так как оператор вполне непрерывный, то в спектр также входит точка, и других точек спектра нет
источник
Для печати
Пред. тема | След. тема
Автор
Сообщение
Swag
Начинающий
Зарегистрирован: 27 ноя 2010, 10:14 Сообщений: 8 Откуда: Екатеринбург Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
Пара задач на норму линейного оператора. Был бы очень признателен
1) Найти норму линейного оператора [math]A \colon C[0,2] \to C[0,2][/math] и проверить достижимость нормы [math]Ax(t)=(t-1)^2x(t)[/math]
2) Линейный оператор [math]A \colon l_2\to l_2[/math] задан формулой [math]Ax=\left(0,\fracx_1,\ldots,\fracx_k,\ldots\right)[/math] , [math]x=(x_1,x_2,\ldots)[/math] . Показать, что [math]A[/math] ограничен и найти его норму. Будет ли она достижима?
Light & Truth
Зарегистрирован: 14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
1) Т.к. функция [math](t-1)^2[/math] не превосходит 1 на промежутке [0,2], то
Поэтому норма оператора не превосходит 1. С другой стороны, взяв в качестве функции x(t) функцию, равную тождественно единице [math]x(t)\equiv1[/math] , получим
Следовательно, норма оператора равна 1.
2) Отметим неравенство [math]\frac справедливое для всех натуральных чисел k. Отсюда следует неравенство
Поэтому норма оператора не превосходит 2. С другой стороны, взяв последовательность элементов [math]x_n \in l_2,[/math] у которых на всех местах стоят нули , кроме места с номером n, на котором стоит 1, получим
Следовательно, норма оператора равна 2. Эта норма недостижима.
4.1. Определение линейного функционала. Примеры линейных ограниченных функционалов. Теорема Рисса
4.2. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейного функционала и ее следствия
Определение 4.1.Линейным функционалом на линейном пространстве X над полем K называется отображение f : X ® K, удовлетворяющее условиям
Сопоставляя определение 4.1 с определениями лекции 15 курса «Функциональный анализ. Часть 1», видим, что линейный функционал является частным случаем линейного оператора. В частности, для линейного функционала справедливы все понятия и теоремы лекции 1.
Приведем некоторые из этих понятий.
1. Линейный функционал на нормированном пространстве X называется ограниченным, если существует постоянная C > 0 такая, что справедливо неравенство | f (x) | £ C ||x||.
2. Нормой ограниченного линейного функционала f называется наименьшая из констант C, при которых справедливо неравенство ограниченности, т. е. || f || = inf C =.
Определение 4.2. Пространство L (X, K) линейных ограниченных функционалов на X называется сопряженным к пространству X и обозначается X‘.
Согласно теореме 1.1, сопряженное пространства является полным нормированным пространством.
Пример 4.1. Пусть X – конечномерное нормированное пространство с базисом e1, e2,¼, en. Тогда любой элемент x представляется в виде , xk Î R. Поскольку в X все нормы эквивалентны (см. раздел 16.1 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), будем считать, что . Если f – линейный функционал на X, то , где xk = f (ek). Полагая , имеем f (x) = (x, x). Из неравенства Коши – Буняковского получаем оценку | f (x) | = | (x, x) | £ ||x|| ||x||, которая показывает, что в конечномерном нормированном пространстве любой линейный функционал f ограничен.
Пример 4.2. Пусть X = C [0, 1]. Функционал f на X определим формулой . Линейность функционала f следует из свойств интеграла:
.
Проверим ограниченность этого функционала:
.
Пример 4.3. Пусть a(t) – интегрируемая по Лебегу функция. На нормированном пространстве C [0, 1] определим функционал формулой , где интеграл понимается в смысле Лебега. Линейность этого функционала очевидна. Неравенство есть неравенство ограниченности для функционала f, причем .
На пространстве C [0, 1] могут быть функционалы и других видов.
Пример 4.4. На пространстве C [– 1, 1] определим линейный функционал d формулой d (x) = x(0). Так как |d (x) | = | x(0) | £, то функционал d ограничен и ||d || = 1. Однако не существует функции a(t) Î L1 [– 1, 1] такой, что для всех x Î C [– 1, 1]. Действительно, предположим противное и выберем последовательность
Тогда xn Î C [– 1, 1] и xn(0) = 1 для всех n. Подставляя xn в формулу, получаем
. (1)
Так как a(t) xn(t) ® 0 почти всюду и | a(t) xn(t) | £ | a(t) |, то, переходя в равенстве (1) к пределу по теореме Лебега, будем иметь . Получаем противоречие.
Пример 4.5. Пусть X = Lp(T,m) и пусть g Î Lq(T,m), где 1 / p + 1 / q = 1. На пространстве Lp(T,m) определим линейный функционал формулой
. (2)
Согласно неравенству Гёльдера (см. раздел 11.2 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), интеграл (2) существует и справедливо неравенство
, (3)
которое является неравенством ограниченности для функционала f, и из (3) получаем, что .
Пример 4.6. Пусть H – гильбертово пространство и u Î H – произвольиый элемент H. Линейный функционал на H определим формулой f (x) = (x, u). Линейность этого функционала следует из аксиом скалярного произведения, а неравенство Коши – Буняковского | (x, u) | £ ||x|| ||u|| является неравенством ограниченности для функционала f и показывает, что || f || £ ||u||. Так как в случае x = u имеем равенство f (u) = (u, u) = ||u|| ||u||, то постоянная ||u|| есть наименьшая, при которой справедливо неравенство ограниченности, т. е. || f || = ||u||.
Следующая теорема утверждает, что справедливо и обратное.
Теорема 4.1 (Рисс). Для любого ограниченного функционала f на гильбертовом пространстве H существует, и притом единственный, элемент u Î H такой, что f (x) = (x, u), причем || f || = ||u||.
Существование. Пусть N = Ker f = x : x Î H, f (x) = 0>. Это линейное подпространство в H. Оно замкнуто в силу непрерывности f. (Если xn ® x и xn Î N, то , т. e. x Î N.) Если N = H, то f (x) = (x, 0). Пусть N ¹ H, тогда, согласно теореме о проекции (теорема 17.3 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), существует элемент u ^ N, u ¹ 0. Возьмем произвольный элемент x Î H и построим элемент . Так , то x1 Î N. Тогда (x1, u) = 0, т. е. , откуда f (x) = (x, u), где .
Равенство || f || = ||u|| было доказано в примере 4.6.
Доказанная теорема утверждает, что между элементами гильбертова пространства H и его сопряженного H’ существует биективное соответствие H ‘ u ® fu Î H’, где fu (x) = (x, u). Очевидно, что это отображение обладает свойствами , (такие отображения называются антилинейными) и, так как ||u|| = || fu ||, оно изометрично.
Значения линейных функционалов в R n являются координатами точки x в некоторой системе координат. С этой точки зрения можно рассматривать и линейные ограниченные функционалы в нормированном пространстве, т. е. значения линейных ограниченных функционалов в точке x считать координатами точки x и вместо x рассматривать ее «координаты» f (x). Поэтому можно считать, что введение сопряженного X’ к бесконечномерному нормированному пространству X аналогично введению координат в геометрическом пространстве. Для обоснования правомерности такой точки зрения нужно прежде всего показать, что линейных ограниченных функционалов на нормированном пространстве достаточно много в том смысле, что по значениям всех линейных ограниченных функционалов точка x Î X определяется однозначно.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения:Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9405 — | 7461 — или читать все.
источник
Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.
Метрическое пространство [math]M[/math] есть множество точек с метрикой [math]d \colon M \times M \to \mathbb[/math] :
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой.
Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции (обычно обозначается [math][a,b][/math] ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом: [math]||x||_[a,b]>=\max_|x(t)|[/math]
Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала [math]f[/math] на Гильбертовом пространстве [math] H[/math] существует единственный вектор [math]y \in H[/math] такой, что [math]f(x)= \langle x,y \rangle[/math] для любого [math]x \in H[/math] . При этом норма линейного функционала [math]f[/math] совпадает с нормой вектора [math]y[/math] : [math]\|f\|=\sup_ |f(x)|= \sqrt[/math] . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над [math]H[/math] изоморофно пространству [math]H[/math] .
Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на подпространстве [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] и удовлетворяющий условию [math]|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L[/math] , где [math]p(x)[/math] — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве [math]X[/math] ) то [math]f(x)[/math] может быть продолжен на все пространство [math]X[/math] с сохранением этого условия.
Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на линейном многообразии [math]L[/math] линейного нормированного пространства [math]X[/math] , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
Ядром линейного отображения [math]f\colon A\to B[/math] называются подмножество [math]A[/math] , которое отображается в нуль: [math]\mbox\,f = \. Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве [math]A[/math] .
Пусть [math]A[/math] — оператор, действующий в банаховом пространстве [math]E[/math] . Число λ называется регулярным для оператора [math]A[/math] , если оператор [math]R(\lambda)=(A — \lambda I)^[/math] , называемый резольвентой оператора [math]A[/math] , определён на всём [math]E[/math] и непрерывен. Множество регулярных значений оператора [math]A[/math] называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.
Определение:
Замыкание [math]Cl \; A = F[/math] , если [math]F[/math] — замкнутое, [math]A \subseteq F[/math] и [math]\forall[/math] замкнутого [math]G: A \subseteq G \Rightarrow F \subseteq G[/math]
Определение:
[math]A[/math] всюду плотно в [math]X[/math] , если [math]Cl \; A = X[/math]
Определение:
[math]A[/math] нигде не плотно в [math]X[/math] , если [math]\forall V_r(x)\; \exists V_(y) \subset V_r(x): V_(y) \cap A = \O[/math]
Определение:
[math]A[/math] I категории по Бэру в [math]X[/math] , если [math]A = \cup A_i[/math] (счетное объединение), [math]A_i[/math] нигде не плотно в [math]X[/math] , иначе II категории
[math]S(E, \mu)[/math] — пространство измеримых функций на [math]E[/math] по [math]\mu[/math] . На этом пространстве определена метрика [math]\rho (f, g) = \int\limits_E \frac d\mu[/math]
[math]\forall z \notin Y \; \forall \varepsilon\; \exists y_ \in Y : \rho(z, Y) \leq \|z — y_\| \leq \frac \cdot \rho(z, Y)[/math] (по свойствам inf). Тогда положим [math]z_[/math] из условия леммы равным [math]\frac>\|>[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (пример применения леммы):
[math]X[/math] — бесконечномерное НП [math]\Rightarrow[/math] любой шар в нем — не компакт
Определение:
[math]C[0,1][/math] — пространство непрерывных функций на [math][0,1][/math] . На этом пространстве определена норма [math]\|f\| = \max\limits_|f(t)|[/math]
Определение:
[math]L_p(E)[/math] — пространство измеримых на [math]E[/math] функций [math]f : \int\limits_E|f|^p \lt +\infty[/math] . На этом пространстве определена норма [math]\|f\| = \sqrt[p][/math]
Определение:
Скалярное произведение [math]\langle x,y \rangle[/math]
[math]\langle\alpha x_1 + \beta x_2,y \rangle = \alpha\langle x_1, y \rangle + \beta \langle x_2, y \rangle [/math]
Сопряженным к оператору [math]A : X \to Y[/math] называется такой оператор [math]A^* : Y^* \to X^*[/math] , что [math]A^* \varphi = \varphi \circ A[/math] , то есть [math]A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)[/math]
Лемма:
[math]\|A\|=\|A^*\|[/math]
Определение:
Ортогональным дополнением линейного множества [math]M \subset E[/math] называется множество [math]M^ = \. [math]M^ = \. Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.
Лемма:
[math]E^ = \,\; E^ = \[/math]
Определение:
Оператор [math]A[/math] компактен, если [math]\forall G : G[/math] — ограниченное [math]\Rightarrow A(G)[/math] — относительно компактно
Лемма:
Компактные операторы обладают следующими свойствами:
[math]A : X \to Y[/math] — компактный, [math]X[/math] — бесконечномерно [math]\Rightarrow[/math] оператор [math]A[/math] не может быть непрерывно обратим
Определение:
Система точек [math]\ \subset X[/math] называется базисом Шаудера, если любой элемент пространства [math]X[/math] единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек
Лемма:
Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] , и [math] \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y[/math] . Тогда [math] R(A) [/math] — замкнуто.
Будем работать с [math]E[/math] , как с банаховым пространством.
Def: Пространство всех линейных функционалов на [math]E[/math] образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к [math]E[/math] , оно обычно обозначается [math]E^*[/math] .
Def: Пусть [math]A:E\to F[/math] — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства [math]E[/math] в банахово пространство [math]F[/math] . И пусть [math]E^*, F^*[/math] — сопряжённые пространства. Обозначим [math]\forall x\in E, f\in F^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)[/math] . Если [math]f[/math] — фиксировано, то [math]\langle Ax,f \rangle [/math] — линейный непрерывный функционал в [math]E, \langle Ax,f \rangle \in E^*[/math] . Таким образом, для [math]\forall f\in F^*[/math] определён линейный непрерывный функционал из [math]E^* [/math] , поэтому определён оператор [math]A^*:F^*\to E^*[/math] , такой что [math]\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle[/math] . [math]A^*[/math] называется сопряжённым оператором.
Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math] . Тогда норма оператора [math]A^*:F^*\to E^*[/math] совпадает с нормой [math]A[/math] .
Def: Пусть [math]S[/math] некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение [math]S^\perp = \[/math] .
Th: Имеют место соотношения: [math]E^\perp = \[/math] ; [math](E^*)^\perp = \[/math] .
(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)
(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)
Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math] , где [math]E[/math] и [math]F[/math] банаховы. Тогда [math]\overline = (Ker(A^*))^\perp[/math] .
Th: Пусть множество значений оператора [math]A[/math] замкнуто: [math]R(A) = Cl(R(A))[/math] . Тогда верно [math]R(A^*) = Cl(R(A^*)) = (Ker(A))^\perp[/math] .
Def: Линейный оператор [math]A:E\to F[/math] называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из [math]E[/math] в относительно компактное множество в [math]F[/math] .
Th: Пусть операторы [math]A, B:E\to E[/math] такие, что [math]A[/math] компактен, а [math]B[/math] ограничен. Тогда операторы [math]AB[/math] и [math]BA[/math] компактны.
Def: Система векторов [math]\[/math] топологического векторного пространства [math]E[/math] называется базисом Шаудера, если каждый элемент [math]f \in E[/math] разлагается в единственный, сходящийся к [math]f[/math] ряд по [math]\[/math] : [math]f= \sum_^ f_i e_i[/math] , где [math]f_i[/math] — числа, называемые коэффициентами разложения вектора [math]f[/math] по базису [math]\[/math] .
Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.
Утв. Пусть [math] A [/math] — компактный оператор, [math] H = I — A [/math] . Тогда, [math] dim (Ker H)\lt +\infty [/math]
Def: Пусть на замкнутом шаре [math]\overline \subset X[/math] , где [math]X[/math] — метрическое пространство, определён оператор [math]A: \overline \subset X \to X[/math] . Он называется сжатием на [math]\overline[/math] , если [math]\exists\alpha\in(0; 1)[/math] такой, что для [math]x,y \in M[/math] выполняется [math]\rho(x,y)>[/math] .
Th.(Банаха о неподвижной точке) Пусть [math]T : \overline \to \overline[/math] и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора [math]T[/math] [math]\exists ![/math] неподвижная точка.
Рассмотрим [math]T : V_r(x_0) \to Y[/math] , где [math]V_r(x_0) \subset X[/math] и, кроме того, [math]X, Y[/math] — нормированные пространства.
Пусть [math]\|\delta x \| \lt r[/math] . Тогда, очевидно, [math]x + \delta x \in V_r(x_0)[/math] .
Def. Отображение [math]T[/math] называется дифференцируемым по Фреше в точке [math]x_0[/math] , если существует оператор [math]A_ \in L(X,Y)[/math] такой, что [math]\delta T(x_0, \delta x) = A_(\delta x) + o(\delta x)[/math] , где [math]o(\delta x)[/math] несёт следующий смысл: [math]\frac_Y > _X> \to 0[/math] .
Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: [math]T_‘ = A_[/math] . Подчеркнем, что [math]T_‘: X \to Y[/math] . Аргументом является «отклонение» некоторой точки [math]x'[/math] от [math]x_0[/math] : [math]x — x_0[/math] . А результат применения оператора: [math]T(x’) — T(x_0)[/math] с точностью до [math]o(\delta x = x’ — x)[/math] .
Lm. Рассмотрим оператор [math]T(x, t) =\int_0^1 K(t,s,x(s))ds[/math] , действующий на [math]x(t) \in C[0,1][/math] , и где [math]K = W(v, y, z); v, y \in [0, 1][/math] , [math] z \in \mathbb R[/math] , и существует непрерывная по [math]v, y, z[/math] производная [math]\frac[/math] . Тогда в любой точке пространства [math]C[0,1][/math] это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по [math]\delta x[/math] оператором: [math]T_‘(\delta x, t) = \int_0^1 \frac(t, s, x_0(s))\delta x(s) ds[/math] .
Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть [math]X, Y[/math] — нормированные пространства, [math]V[/math] — некоторый шар в [math]X[/math] и дан оператор [math]T : V \to Y[/math] и на всем этом шаре [math]\exists T'(x)[/math] . Тогда для любых [math]a, b \in V : \|T(b) — T(a)\| \le M _X[/math] , где [math]M = sup_\|T'(x)\|[/math] .
Пусть [math]V[/math] — шар в [math] X, V \subset X[/math] , а [math]W \subset Y[/math] — шар в [math]Y[/math] , и задан оператор [math]T : \times \rightarrow Y[/math] .
Пусть [math] \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^_y [/math] — дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных [math]x[/math] и [math]y[/math] .
Пусть также [math]T^_(x_0, y_0)[/math] — непрерывно обратим.
Тогда задача о неявном отображении для [math]T(x, y) = 0[/math] c начальным решением [math]T(x_0, y_0) = 0[/math] разрешима в некоторых окрестностях точек [math]x_0, y_0[/math] , а именно: для любого [math]x’ \in V_(x_0)[/math] существует единственное [math]y’ \in V_(y_0) : T(x’, y’) = 0[/math] .
Следствие локальной теоремы о неявном отображении
Дано отображение [math]T : V_r(x_0) \subset X \to V_r(y_0) \subset Y[/math] . [math]T(x_0) = y_0[/math] . Если существует непрерывно-обратимое отображение [math]T_x ‘(x_0)[/math] и отображение [math]T_x ‘(x)[/math] существует на всем шаре, то для любого [math]y \in V_(y_0)[/math] существует единственный [math]x \in V_(x_0) : T(x) = y[/math] .
Th.(о простой итерации) [math]T: V \subset X \to X[/math] и существует [math]\overline \in V : \overline = T(\overline)[/math] . Кроме того, пусть [math]\|T'(\overline)\| \lt 1[/math] . Тогда [math]\exists \delta : \forall x_0 \in V_\delta(\overline)[/math] и [math]x_ = T(x_n)[/math] выполнено [math]lim(x_n) = \overline[/math] .
Th.(о методе Ньютона-Канторовича) [math]F : V \to X, \exists \overline \in V : F(\overline) = 0[/math] . Кроме этого, пусть на [math] V[/math] [math] \exists F'(x)[/math] , непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки [math]\overline[/math] , в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. [math]\exists \delta \gt 0 : x_0 \in V_\delta(\overline), x_ = x_n — (F_‘)^(F(x_n))[/math] и тогда: [math] lim(x_n) = \overline [/math] .
Lm.(о проекторах Шаудера) Пусть [math]T: D \subset X \to X[/math] , где [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов [math]T_n: T_n \rightrightarrows T[/math] на D, и при этом [math]\forall T_n[/math] лежит в конечномерном подпространстве [math]X[/math] .
Th.(Шаудера) Если [math]D[/math] — ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве [math]X[/math] и оператор [math]T : D \to D[/math] , то у этого оператора на [math]D[/math] существует неподвижная точка.
| 7461 — 
или читать все.