Как решать задачи по функциональному анализу

1 Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве принять за норму элемента : A ; B ; C D E A Можно, так как: 3 B Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы : — произвольная константа С Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы Возьмем но тогда D Можно, так как: и Так как, константа, но, следовательно, Обратное утверждение очевидно

2 3 E Можно, так как:, утверждение очевидно непрерывности Обратное 3 3 Будет ли множество всех многочленов в пространстве A открытым; B замкнутым? A М ножество всех многочленов в пространстве не является открытым, так как по теореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить средними Чезаро, которые не являются алгебраическими многочленами Следовательно, окрестность любой точки множества содержит элемент, множеству не принадлежащий B М ножество всех многочленов в пространстве не является замкнутым Рассмотрим пример, функцию можно приблизить частичными суммами ряда Тейлора, которые являются алгебраическими многочленами Следовательно, множество всех многочленов в пространстве не содержит всех предельных точек, значит оно не является замкнутым 4 Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство По определению линейным подпространством, принадлежащим линейному нормированному пространству, называется линейное многообразие, если оно замкнуто относительно сходимости по норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейном нормированном пространстве конечномерное линейное многообразие — замкнуто Докажем от противного Пусть Рассмотрим функцию Рассмотрим, Возьмем произвольный и рассмотрим замкнутый шар Обозначим Тогда Множество конечномерное, замкнутое, ограниченное Функция согласно неравенству треугольника Следовательно, Однако

3 это противоречит предположению, что Следовательно замкнуто и является подпространством 5 Пусть линейное нормированное пространство, линейное многообразие, Доказать, что не содержит никакого шара Докажем от противного Пусть : шар Рассмотрим : Возьмем, где так как принадлежит шару Следовательно,, а значит и Таким образом, пришли к противоречию 6 Образуют ли в пространстве подпространство следующие множества функции: A монотонные функции B четные функции; C многочлены; D непрерывные кусочно- линейные функции? A Не образуют, так как если рассмотреть, то — не является монотонной B Множество четных функций образует линейное многообразие, так как Докажем, что замкнуто от противного Пусть, тогда, но, следовательно, противоречие Следовательно, множество четных функций образуют подпространство C Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространстве не является замкнутым D Не образуют, так как множество непрерывных кусочно- линейных функций не является замкнутым в Рассмотрим Введем обозначения : Рассмотрим последовательность функций : Покажем, что Рассмотрим, Таким образом, Следовательно, не является замкнутым Таким образом, 7 Образуют ли в пространстве C [-, ] подпространство следующие множества функций:

4 A многочлены степени k; B непрерывно дифференцируемые функции; C непрерывные функции с ограниченной вариацией; D функции, удовлетворяющие условию? A Да Множество многочленов степени представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит из векторов Следовательно, множество многочленов степени является конечномерным линейным многообразием в линейном нормированном пространстве, а значит по задаче 4 доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство является подпространством B Нет Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто относительно нормы пространства Рассмотрим где Покажем, что она непрерывное дифференцируема: Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен — Аналогично получаем, что Итого получаем непрерывную на отрезке производную: Покажем, что

5 То есть получили, что, но не является непрерывно дифференцируемой функцией Значит, множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто, следовательно, не является подпространством C Нет Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто относительно нормы пространства Рассмотрим Покажем, что непрерывна При очевидно При надо показать, что : Покажем, что вариация на отрезке При суммировании вариаций по полуинтервалам получаем Рассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией: Покажем, что по норме: То есть получили, что, но не является функцией с ограниченной вариацией Значит, множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто, следовательно, не является подпространством D Да Множество функций, удовлетворяющих условию, представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно

6 операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством Докажем замкнутость Рассмотрим 8 Пусть X линейное нормированное пространство, множество фиксировано Доказать, что непрерывное отображение Опр Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то говорят, что f непрерывно на X Опр Каждому элементу ставится в соответствие некоторый элемент из Y Это отображение называется непрерывным в точке, если для каждого существует такое, что для всех таких, что выполнено неравенство здесь — расстояние в X, а — расстояние в Y Фиксируем Докажем, что для произвольных будет выполнено Пусть — минимизирующая последовательность для, то есть По неравенству треугольника: Аналогично Следовательно, Следовательно, отображение непрерывное по определению 9 Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым Обозначим E конечномерное линейное нормированное пространство Возьмем фундаментальную последовательность элементов, где базис пространства E

7 Т к для любого все его его координаты удовлетворяют неравенству, где H постоянная, зависящая только от выбора базиса в E лемма 53 из Вулих Б З «Введение в функциональный анализ», то Следовательно, конечные благодаря полноте множества вещественных чисел существуют Лемма 53 из Вулих Б З «Введение в функциональный анализ»: Сходимость по координатам влечет сходимость по норме Именно, пусть и Если при каждом а, то По этой лемме получаем Таким образом, полнота E доказана, т е оно банахово Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховым пространством Рассмотрим фундаментальную последовательность в подпространстве банахова пространства норма в берется такая же, как и в Эта последовательность является фундаментальной и в, т к — подпространство Поскольку банахово, то Так как подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто, следовательно, Получили, что произвольная фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к Следовательно, — банахово по определению Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых вложенных множеств? Да, может Пример: банахово пространство пространство вещественных чисел и последовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем : Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых элементов имеет место тождество Аполлония : Преобразуем левую часть тождества, пользуясь свойствами скалярного произведения:

8 Преобразуем правую часть тождества, пользуясь свойствами скалярного произведения: Таким образом, в пространстве со скалярным произведением для любых элементов тождество Аполлония имеет место 3 Доказать, что для того чтобы элемент гильбертового пространства был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента имело место неравенство Решение необходимо сть Решение достаточно сть Воспользуемся теоремой Леви — гильбертово, — подпространоство в нем Разложим указанным в ней способом : По условию Докажем, что Пусть 4 Доказать, что при фиксированном натуральном множество является подпространством пространства Описать такое подпространство, что Решение Покажем, что является линейным многообразием Построим разложение Пространство является гильбертовым, является подпространством в нем по следствию из теоремы Леви Построим Покажем, что Действительно,

9 Покажем, что Действительно, Итак, мы показали, что необходимым условием того, что является представление в виде Очевидно, что это является и достаточным условием, так как Итак, искомое пространство L является линейной оболочкой вектора 5 В пространстве рассмотрим последовательность, Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна в пространстве Решение Докажем, что лишь нулевой элемент пространства ортогонален всем элементам множества от противного Получаем Полученное противоречие доказывает, что изначальное утверждение было неверно Итак, мы доказали, что Так как является гильбертовым, то из доказанного выше утверждения следует, что — всюду плотное множество 6 Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы: Решение для В силу свойств производной получаем

10 Получаем, что оператор линеен Докажем ограниченность оператора В силе линейности оператора достаточно доказать, что оператор переводит замкнутый единичный шар с центром в нуле в пространстве в ограниченное множество в пространстве Итак, мы получили, что — линейный и ограниченный Найдем его норму Ранее было полученно, что Покажем, что Рассмотрим последовательность функций Итак, мы получили максимизирующую последовательность элементов из, показывающую, что Решение для Докажем линейность оператора В силу линейности интеграла Лебега получаем Получаем, что оператор линеен Докажем ограниченность оператора В силе линейности оператора достаточно доказать, что оператор переводит замкнутый единичный шар с центром в нуле в пространстве в ограниченное множество в пространстве Итак, мы получили, что — линейный и ограниченный Найдем его норму Ранее было полученно, что Покажем, что Возьмем Тогда получаем Так как мы показали, что и 7 Пусть и — линейные нормированные пространства, — линейный оператор с областью изменения Доказать, что — линейное многообразие в Всегда ли — подпространство в Решение линейное многообра з и е

11 Для доказательства того, что является линенйным многообразием необходимо доказать, что Таким образом, получаем что является линенйным многообразием Решение подпростран ство Докажем, что не всегда является подпространством Для этого построим линейный оператор, такой, что не является замкнутым множеством дифференцируемых Рассмотрим последовательность непрерывно функций Но Таким образом, получаем что не всегда есть подпространство 8 Доказать, что в банаховом пространстве для любого определены операторы Решение По теореме 3 7 пространство линенйных непрерывных операторов в банаховом пространстве само является банаховым, то есть любая фундаментальная последовательность элементов из этого пространства сходится к элементу этого же пространства Рассмотрим операторную последовательность Так как, то является линейным непрерывным оператором Докажем, что так же является линенйным непрерывным оператором является непрерывным как композиция конечного числа непрерывных операторов

12 Итак, — линейный непрерывный оператор для любого Докажем фундаментальность последовательности Последняя сумма представляет собой хвост сходящегося ряда Итак последовательность является фундаментальной Следовательно она сходится к своему пределу, которые принадлежит этому же пространству Следовательно в пространстве определен оператор являющийся пределом операторной последовательности Для второго случае все полностью аналогично 9 Пусть X банахово пространство, A L X X Доказать, что I, где I тождественный оператор A A Найти A A По определению,, A L X X /*в пдф-ке в числителе была норма А*/! A k A k k k! k k! k k! k k! k k! k k! что следует из сходимости ряда в смысле нормы в L X X A k A k A k A k k A, т к k! k, Утверждение доказано Найдем I по определению: k I I I I k! k! k! k! k k k k k k!, X I I Рассмотрим оператор A : C[,] C[,] d A с областью определения d D A линейное многообразие дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям ‘ Найти A и доказать, что он ограничен Обозначим d / d, d / d Тогда задача примет вид :

13 d / d, d / d, ; Или dx d BX Y, где X,, Y,, B По теореме Каратеодори /*нафига тут говорить об этой теореме?*/ задача Коши dx / d BX X X ; Y, [, ], где Y интегрируема по Лебегу, имеет единственное решение в классе абсолютно непрерывных функций и это решение дается формулой X B sb X Y s ds решение задачи выглядит так: sb Y s ds B X X, cos si B cos s si s, sb si cos si s cos s Тогда cos ssi s ds si scos s ds Заметим, что cos cos ssi s ds si s ds si si scos s ds cos s ds 4 т е обратный оператор ограничен s Рассмотрим оператор A : C[,] C[,], A s ds Существует ли оператор A? Решение. неверное. опечтка в условии: По определению A, если! решение задачи A Пусть N A

14 s s s s ds s ds s ds s s ds s s s [,] s s [,] N A Пусть, C[,]: A A Тогда A A, A,, Рассмотрим оператор A : C[,] C[,], A τ dτ Пусть N A ядро оператора A A Доказать, что N A , так что при любом C[,] уравнение A не может иметь более одного решения B Найти оператор A и доказать, что он ограничен А /*решил я сам, так что возможны баги*/ N A τ dτ τ dτ c c c τ dτ τ c dτ c и c c c Следовательно, и N A Б Пусть τ dτ

15 Тогда ‘ u u, где d u τ τ Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном : c u, ‘ c d c τ τ τ d d c u A τ τ τ τ τ τ d d A τ τ τ τ τ τ, т е обратный оператор ограничен 3, Доказать что оператор ] [, [,] : C C A, ds s A s имеет, ограниченный обратный и найти A Пусть ds s s, или ds s s Обозначим ] [ ds s D s Тогда ] [ D Нужно выразить функционал ] [ D через Умножим последнее уравнение на и проинтегрируйте по от до Получим ] [ ] [ d D d D Отсюда ] [ d d D Окончательно, ds ds s A s s

16 A s s ds s ds ограничен s s ds s ds, т е обратный оператор /*в случае если в условии верхний предел интегрирования:, а не */ s Пусть s ds Тогда s u u’, где u s ds Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном : u c, c’ c s s ds A u c s s ds s s ds A ограничен s s ds *, т е обратный оператор 4 Пусть X комплексное линейное пространство, f определенный на X и не равный тождественно нулю линейный функционал Доказать, что область значений f есть все C Нужно доказать, что c C X : f c Известно, что dim C Если доказать, что R f область изменения линейного функционала f содержит линейно- независимых вектора, то с учетом линейности функционала мы получим все C, так как C a b, a, b R;, базис в > Пусть i X

17 5 Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы: A ; B A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти функцию, на которой, то равна 4 Рассмотрим, а Значит, B Докажем линейность: Покажем, что функционал ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Функция будет равна: Значит,

18 6 Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы: A ; B где, A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти функцию, на которой, то равна Рассмотрим: Заметим, что Значит, B Докажем линейность функционала: Покажем ограниченность функционала: Значит, — ограниченный и непрерывный — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает 3, равна 3 Рассмотрим: то

19 Функция будет равна: Заметим, что Значит, 7 Будут ли ограниченными в пространстве следующие линейные функционалы: A ; B? A B 8 Доказать, что следующие функционалы являются линейными непрерывными и найти их нормы: A, ; B, A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный

20 — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Функция будет равна: Заметим, что Значит, B Докажем линейность функционала: Покажем ограниченность функционала: — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Заметим, что Значит, 9 Доказать, что функционал, является линейным непрерывным, и найти его норму Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если

21 Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти последовательность, на которой, то равна Рассмотрим Заметим, что Значит, 3 Для положим Доказать, что ограниченный линейный функционал Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Оператор ограниченный, если Докажем ограниченность функционала: 3 Найти сопряженный к оператору, если A B Решение A Положим, тогда пространство — гильбертово В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору, если Рассмотрим скалярное произведение : Таким образом,

22 B Рассмотрим скалярное произведение : Тогда сопряженный оператор имеет вид : 3 Найти сопряженный к оператору, если A B при Решение A В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору, если Комплексное пространство является гильбертовым, если положить Рассмотрим скалярное произведение : Таким образом, B Рассмотрим скалярное произведение : Тогда 33 Найти сопряженный к оператору, если: Решение A ; B, при A В гильбертовом пространстве H теорема Рисса- Фреше, Теорема дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор Комплексное пространство становится гильбертовым, если выбрать скалярное произведение как: Сходимость этого ряда следует из неравенства Коши- Буняковского: Рассмотрим:

23 Таким образом, сопряженный оператор имеет вид: B Рассмотрим: Таким образом, сопряженный оператор имеет вид: 34 Какие из следующих операторов являются вполне непрерывными: Решение A ; B ; C ; D ; E? A Ответ: Нет Оператор является вполне непрерывным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное Воспользуемся критерием компактности в, Теорема Для того, чтобы множество непрерывных функций из было компактным необходимо и достаточно: ; Рассмотрим функцию: При этом функция:, т к и не является равномерно непрерывной, т к

24 не является ограниченной на Значит, оператор не является вполне непрерывным B Ответ: Да Воспользуемся доказательством критерия компактности в Если функция, то является вполне непрерывным В данном случае Значит, оператор является вполне непрерывным C Ответ: Да — непрерывно дифференцируема на Значит, равностепенная непрерывность равносильна равномерной ограниченности ее производной Заметим, что — ограничена на в силу непрерывности Значит, оператор является вполне непрерывным D Ответ: Да Воспользуемся доказательством критерия компактности в Если функция, то является вполне непрерывным В данном случае Значит, оператор является вполне непрерывным E Ответ: Нет Рассмотрим функцию

25 , но не является равностепенно непрерывной, т к не является ограниченной на Значит, оператор не является вполне непрерывным 35 Будет ли вполне непрерывным оператор A : C[,] C[,], A [ ]? Нет, не будет Пусть C[, ] четная функция Тогда A Возьмем si Тогда, как рассмотрено в задаче 34 пункт Е, A имеет неограниченную производную на множестве [,,] оператор не является вполне непрерывным 36 При каком условии на функцию ϕ C[,] оператор A : C[,] C[,], A ϕ будет вполне непрерывным? Докажем, что искомым условием на функцию ϕ является условие ϕ, [,] Пусть это не так, т е,]: ϕ [ Тогда в силу свойств непрерывных функций δ > : ϕ, [ δ, ] δ Не ограничивая общности, будем полагать, что ϕ всюду в окрестности точки случай ϕ 26 Имеем Aδ δ Aδ δ ϕ δ C >, где C cos, δ [, δ, т к ϕ C Итак, δ, δ δ C[,]: A δ A δ C > образ замкнутого единичного шара из пространства C [,] при отображении А не есть равностепенно непрерывное множество функций А не является вполне непрерывным оператором Мы пришли к противоречию ϕ, [,] d 37 Будет ли вполне непрерывным оператор A, если он рассматривается как d действующий: А A : C [,] C[,] ; B A : C [,] C [,] ; C A : C [,] C[,]? А Рассмотрим последовательность S [,] C, si cos d si Тогда A и A Т е A — d d неограниченная последовательность при Следовательно, образ замкнутого единичного шара из пространства C [,] при отображении А не является равностепенно непрерывным множеством функций оператор А не вполне непрерывный B Ответ: нет Рассмотрим последовательность S [,] cos, [,] 3 d cos A d 3 Тогда d C, si A 3 и Очевидно, что последовательность сильно сходится к, а значит и слабо при Тогда докажем, что из нельзя выделить фундаментальную последовательность в C [,] Пусть это не так и фундаментальная последовательность k Тогда ma [,] k ma [,] k k k A По признаку Коши имеем: ma ma [,] [,] k, p Из k p k k p k сходимости первого слагаемого к вытекает необходимость сходимости второго, т е

27 cos k p cos k k p k k p k ma si si [,] k, p k, p 3 3 А это не так Значит, получили противоречие оператор А не вполне непрерывный С Ответ: да Рассмотрим образ F множества C [,] пространстве S F равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно в силу ограниченности множества производных Согласно теореме Арцела, F компактно А значит, оператор А вполне непрерывный 38 Сформулировать критерий компактности в l p Какие из следующих операторов A : l l вполне непрерывны при,, : А A. ; A ; 3 3 A. 3 3 B. C Критерий компактности в необходимо и достаточно, l p : Для компактности замкнутого множества K lp чтобы множество K было ограниченным и чтобы ε > p ε N : ξ i 28 B Ответ: оператор является вполне непрерывным Для доказательства этого покажем, что образ F замкнутого единичного шара из является компактным множеством, для чего воспользуемся критерием компактности в l p Ограниченность очевидна, поскольку A F имеем: Ограниченность F доказана Чтобы доказать его замкнутость, докажем, что A непрерывный оператор, тогда, в силу замкнутости шара, получим замкнутость F Пусть Тогда k k k k A A k k k Следовательно, оператор А непрерывный Условие критерия компактности множества в l p проверяется так: k Ak k k k k k и любом ε С Ответ: оператор является вполне непрерывным Доказательство совершенно аналогично доказательству предыдущего пункта со смещением индексов последовательности на 39 Доказать, что оператор,, A : l l, A λ, λ, l, где λ R, k N, sup 29 d d A,, A * Отсюда вытекает, что A A Далее: d A, d Следовательно, оператор А неотрицательный 4 Доказать, что оператор : L [,] L[,] самосопряжённым и неотрицательным Рассмотрим скалярное произведение: s A, A s ds s s s s ds d d s ds s ds d является A,, A Следовательно, * A A Далее: s s s ds d s ds * d A, d Следовательно, оператор А неотрицательный 4 Пусть R h, A : L, L,, h фиксировано Доказать, что разностный оператор h h A h * удовлетворяет соотношению A A Рассмотрим скалярное произведение: h h h A, d d h h h h s s ds s s ds h Отсюда вытекает, что A A * h h h d h d, A 43 Пусть самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, причем Доказать, что если существует ограниченный оператор, то обратный оператор тоже самосопряжен Поскольку ограниченный, то Тогда

30 44 Пусть — ограниченный самосопряженный оператор, Доказать, что оператор существует Предположим, что Тогда Рассмотрим скалярное произведение и воспользуемся самосопряженностью оператора : Следовательно, предположение верно только при Отсюда очевидно следует обратимость оператора 45 Рассмотрим оператор, для Доказать, что самосопряжен в и Найти оператор В гильбертовом пространстве оператор является самосопряженным, если выполнено Пространство становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить Сходимость этого ряда для любых и из вытекает из неравенства Буняковского для рядов Рассмотрим скалярное произведение Таким образом, оператор является самосопряженным Далее : Теперь рассмотрим оператор Очевидно, Значит, 46 В вещественном линейном пространстве найти собственные значения и собственные векторы оператора: А ; В Решение значениями оператора являются: следовательно, если, то собственными Собственные вектора — четные функции Собственные вектора — нечетные функции Решение Исходя из этого будет искать собственные вектора в виде Таким образом получаем, что — собственный вектор, отвечающих собственному значению 47 В пространстве рассмотрим оператор Найти

31 Видно, что при резольвента не существует, поэтому Пусть теперь, тогда Таким образом, при резольвента не существует, поэтому Спектр оператора —, при остальных значениях : 48 Рассмотрим оператор для, где Найти Домрина, Леонтьева, задача 6 Очевидно, Пусть Тогда для любого определен, причем, что доказывает регулярность значения Значит, 49 Доказать, что оператор для, вполне непрерывен и найти его спектр Непрерывность: А непрерывен проверяется по определению действует в конечномерное пространство > он вполне непрерывен образ ограниченного множества компактен по т Больцано Вейерштрасса См Теорема Треногин, параграф, т3 и следствие из неё Спектр : Решая систему, получим, что при любом её решение вектор — точка остаточного спектра, т к только нулевой 5 Доказать, что оператор вполне непрерывен и найти его спектр Оператор вполне непрерывный, т к он интегральный по доказанному на лекциях Так как, где, собственные векторы надо искать в виде Но тогда, и собственных векторов у оператора нет, и весь спектр состоит из точки

32 5 Доказать, что оператор вполне непрерывен и найти его спектр Оператор вполне непрерывный, т к он интегральный по доказанному на лекциях Поэтому собственный элементы A нужно искать в виде Откуда Так как оператор вполне непрерывный, то в спектр также входит точка, и других точек спектра нет

источник

Качественное выполнение задач по функциональному анализу по скромной стоимости и в высочайшем качестве

Сегодня существует масса различных предметов, которые входят в учебную программу, однако не пользуются популярностью у студентов. Причин для этого несколько:

• подобные предметы практически никогда не применяет на практике;
• такая дисциплина редко используется и по профессии;
• в процессе изучения оказывается чрезвычайно сложной.

К примеру, к таким дисциплинам стоит отнести и функциональный анализ. Один из видов математических дисциплин, занимающийся изучением топологических векторных пространств.

Эта дисциплина, в частности задачи по ней, не пользуется популярностью, так как найти применения полученным знаниям в жизни достаточно сложно, конечно, если студент не учится на математика.

В большинстве случаев, учащиеся ищут возможности, как избежать самостоятельного решения сложнейших задач, которые предполагает функциональный анализ. Одним из наиболее популярных способов решения, является написание подобной работы на заказ, специалистами – за деньги.

Такой способ пусть и требует капиталовложений, но небольших, позволит студенту избежать многих проблем, связанных с решением задач по функциональному анализу, в частности – поможет сберечь время студента и силы, пустить которые можно на другие задания и предметы, которые будут более актуальны в жизни или по специальности.

Конечно же, выполнение подобного рода работы следует доверять не первому попавшемуся – студенту, сокурснику или человеку, занимающегося написанием обычных рефератов. Такие люди вряд ли смогут сделать подобное достаточно качественно. Соответственно, претендовать на высокий балл с таким трудом будет достаточно сложно.

Многие обращаются к лицам, предлагающим выполнение любых учебных задач. Однако один человек не может в совершенстве знать все предметы и одинаково качественно решать задачи по ним. Поэтому, несмотря на то, что предлагается низкая цена на подобное, этих предложений следует избегать – студент рискует тем, что может получить некачественную работу или же вообще, может потерять деньги, отдав их мошенникам, которые тут же исчезнут, не сделав абсолютно ничего.

Лучшим вариантом в ситуации, если выполнение задачи решено поручить постороннему исполнителю, будет обращение в специализированную компанию. Именно там могут предложить высокое качество по доступной стоимости.

Более того, любая задача по функциональному анализу будет написана качественно, ведь выполнять ее будут настоящие специалисты, среди которых есть и те, для кого функциональный анализ является любимым предметом, или же дисциплиной, которую они изучали на протяжении многих лет.

Поэтому, какова бы ни была задача – решение интегралов, дифференциальные исчисления на бесконечных пространствах, или же работы на основе теорий Хана – Банаха, Рисса – Фреше и прочих, станет достаточно простым решением для специалистов – они смогут выполнить их максимально быстро, качественно, а главное – правильно.

С подобной работой можно смело претендовать на высокую оценку.

Обратиться в компанию, предлагающую подобные услуги, может каждый. Более того, если заказ нужно выполнить срочно – это могут сделать специалисты именно нашего штата. Они способны написать любой труд в самые сжатые сроки.

Главный же плюс – это возможность получить готовую работу точно в срок, причем весьма недорого. Причем обратиться можно с любым заданием по функциональному анализу или любому другому предмету, который сегодня преподают в обычных и высших учебных заведениях.

источник

ВМиК МГУ, 4 курс, 3 поток, зимняя сессия

[1]. А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. [2]. А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. [3]. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе.

Задача 41. Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на [0;1] функций x(t) таких, что , где K₁,K₂ > 0 – постоянные, компактно в пространстве C[0;1].

Указание. Согласно теореме Арцела-Асколи, для предкомпактности семейства функций MÌС[a;b] Û равностепенная непрерывность и равномерная ограниченность этого семейства. Если предкомпактное множество замкнуто, то оно компактно.

Задача 42. Будет ли компактным множество всех степеней x n (nÎN) в пространстве C[0;1].

Решение. Из последовательности элементов любого полного компакта можно выделить сходящуюся в нем подпоследовательность. Но любая бесконечная подпоследовательность из x n > сходится к разрывной функции f(x) = .

Задача 43. Доказать, что не всякое ограниченное множество в метрическом пространстве вполне ограничено.

Указание. Единичная сфера S в пространстве l₂ограничена. Рассмотрим точки вида e_k (где на k-ом месте в последовательности стоит 1, а на остальных — 0). Расстояние между любыми двумя различными точками e_m и e_n равно Þ для e

Указание. Линейность следует из линейности интеграла Римана I(x;[a;b]). Функционал вида I(x;[a;b]) ограничен и имеет норму (b-a). || f || = 2
в)

Указание. Любой функционал вида J(x;y;[a;b]) = линеен по x и ограничен. || J || = . Таким образом, || f || = 1.

Задача 46. Пусть X – множество функций f(x), определенных на всей вещественной прямой, каждая из которых равна нулю вне некоторого конечного интервала. Введем норму, полагая . Будет ли пространство X банаховым?

Указание. Докажем, что пространство X не будет полным. Рассмотрим последовательность функций f_n(x) = exp(- x 2 ), если |x|£n; 0, если |x|>n>. Очевидно, что эта последовательность фундаметальна, но сходится к функции f(x)=exp(- x 2 )ÏX.

Задача 47. Является ли пространство непрерывных на отрезке [0;1] функций гильбертовым пространством, если скалярное произведение задается следующим образом: ?

Указание.Если предположить, что C[0;1] с заданным таким образом скалярным произведением есть гильбертово, то имеем подпространство в гильбертовом пространстве L₂[0;1]. Можно подобрать последовательность непрерывных функций f_n> из L₂, сходящуюся к разрывной функции f(x) = if x £ 1/2, 1, otherwise). Таким образом, подпространство C[0;1] не полно Þ противоречие.

Задача 48. Показать, что если в гильбертовом пространстве H последовательность x_n слабо сходится к x и ||x_n||®||x||, то последовательность сходится сильно, т.е. ||x_n — x|| ® 0.

Указание. Предположим, что H сепарабельно. Тогда оно изоморфно пространству l₂. Поэтому достаточно доказать это утверждение для пространства l₂. Действительно, ||x_n — x|| 2 =(x_n-x,x_n-x)=||x_n|| 2 +||x|| 2 -2(x,x_n)= ||x_n|| 2 -||x|| 2 +2(x,x-x_n)®0 (т.к. согласно слабой сходимости, (x,x_n-x) ®0).

Задача 49. Доказать, что любой линейный непрерывный функционал в гильбертовом пространстве H достигает нормы на замкнутом единичном шаре.

Указание. Считаем, что пространство H сепарабельно. Функционал F(x)=(a,x) достигает нормы ||F||=||a|| на элементе a/||a||.

Задача 50. Найти норму оператора A, действующего в пространстве C[0;1], (или в пространстве L₂[0;1]): .

Указание. Сопряженным к l₂ является пространство функционалов вида G(x)=(g,x), где gÎ l₂. Нужно подобрать оператор A * на множестве таких функционалов, такой что (g,Ax)=(A * g,x). Для функционала G(x)=(g,x), где g=(g₁,g₂,…,g_n,…) положим A * G(x)=G'(x)=(g’,x), где g’=(g₂,g₃,…., g_n,…). Поскольку А переводит единичный шар в единичный шар, то ||A|| = 1. Поскольку оператор А ограничен и пространство l₂ банахово, то ||A * || = ||A|| = 1.

Задача 52. Определить спектр оператора A, действующего в пространстве l₂: .

Указание. Оператор A компактен, поэтому его спектр состоит из нуля и собственных значений. Числа l_n являются собственными значениями, т.к. Ker(A-l_nI)¹.

Задача 53. В пространстве С[0;1] задан оператор A. Будет ли оператор A компактным?
а) Ax(t) = tx(t).

Указание. На подпространстве L = f | f(x)=0 при x£1/2>ÌС[0;1] оператор обратим. Но в бесконечномерном нормированном пространстве компактный оператор не имеет обратного.
б)

Указание. A — частный случай компактного оператора Вольтерра.
в) Ax(t)=x(0)+tx(1)
Ответ. Да.

Указание. Подпространство Im(A) конечномерно, образ единичного шара ограничен.

Задача 54. В пространстве задан оператор A: . Доказать, что оператор A компактен, найти его спектр.

Указание. Оператор А компактен, т.к. является композицией компактного оператора из задачи 52 и ограниченного оператора (сдвига). Поскольку оператор задан в гильбертовом пространстве и компактен, то число 0 входит в его спектр. Легко показать, что собственных значений у оператора нет: из (A-lI)x = 0, l¹0 следует x = 0 .

Задача 55. Привести пример линейного, но не непрерывного функционала.

Пример. Пространство

i(x)> всевозможных многочленов над R. Норма: ||P||=max(|P(x)|) на отрезке [0;1/2]. Функционал f(P) = P(1). Функционал f не является непрерывным. В самом деле, рассмотрим последовательность P_n=x n . Очевидно, что ||P_n|| ® 0, но f(P_n­)®¥.

источник

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

А. Р. МИРОТИН, Ж. Н. КУЛЬБАКОВА

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ

УО « ГГУ им. Ф. Скорины»

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

А. Р. МИРОТИН, Ж. Н. КУЛЬБАКОВА

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ

Для студентов математического факультета

специальности 1-31 03 01-02 − «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

УО « ГГУ им. Ф. Скорины»

Ю. В. Малинковский, профессор, доктор физико-математических

наук; кафедра экономической кибернетики учреждения образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скори-

Н.Г. Лопухова, доцент, кандидат физико-математических нафук; ка-

федра высшей математики учреждения образования «Белорусский

торгово-экономический университет потребительской кооперации»

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом учреж-

дения образования «Гомельский государственный университет

Миротин, А. Р.

М 644 Функциональный анализ и интегральные уравнения: сборник

задач для студентов специальности 1-31 03 01-02 − «Математи-

ка (научно-педагогическая деятельность)» / А. Р. Миротин, Ж.

Н. Кульбакова; М-во образования РБ, Гомельский гос. ун-т им.

Ф. Скорины. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2010. ­– 63 с.

Сборник задач подготовлен в соответствии с программой курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 1-31 03 01-02 − «Математика (научно-педагогическая деятельность)». Содержит задачи по разделам «Метрические пространства», «Линейные нормированные пространства и операторы в них», а также решения типовых примеров.

© Миротин А.Р., Кульбакова Ж.Н., 2010

© УО «Гомельский государственный

университет им. Ф. Скорины», 2010

Функциональный анализ является одним из важнейших разделов математического анализа, воплотившим в себе единство абстрактной и прикладной математики.

Данный сборник содержит задачи, подобранные в соответствии с программой курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 1-31 03 01-02 − «Математика (научно-педагогическая деятельность)» (5-ый семестр обучения). В сборнике представлены наиболее типичные задачи по разделам «Метрические пространства», «Линейные нормированные пространства и операторы в них». Предлагаемый материал направлен на закрепление теоретического материала путем самостоятельного решения задач, а также на овладение основными приемами и методами решения задач по функциональному анализу.

Сборник предназначен в первую очередь для проведения лабораторных, практических занятий по курсу «Функциональный анализ и интегральные уравнения». Подбор задач осуществлен в соответствии с расположением учебного материала в программе дисциплины. Материал разбит на темы, по каждой из которых учебным планом по дисциплине «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 1-31 03 01-02 − «Математика (научно-педагогическая деятельность)» предусмотрено выполнение лабораторной работы. Для каждого типового задания подобрано 6 вариантов задач примерно одинаковой сложности. Это позволит также использовать сборник для самоконтроля при подготовке к экзамену. Самостоятельное решение задач по функциональному анализу часто вызывает большие трудности у студентов, поэтому пособие содержит примеры решения типовых задач.

При составлении сборника задач использовались материалы лабораторного практикума «Функциональный анализ и интегральные уравнения» коллектива авторов под руководством А. Б. Антоневича и Я. В. Радыно, изданного в БГУ в 2003 году.

Метрические пространства

Тема 1 Сходящиеся последовательности в

Метрических пространствах

1.1.1 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия.

1.1.2 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия.

1.1.3 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия.

1.1.4Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве X?

1.1.5Найти предел последовательности x_n в метрическом пространстве X, если он существует.

Примеры решения типовых задач

1 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a.

Пример 1 .

Решение Рассмотрим расстояние | x_n(t) – a(t) |. Так как при всех имеем

|x_n(t) – a(t)| = | – |t|| = – |t| = = 0

при , то . Значит, x_n сходится к a в .

Пример 2 , , .

Решение Рассмотрим |t n — t n + 1 |. Обозначим через и найдем наибольшее значение функции | | на отрезке . Имеем , , если или .

= , ,

.

Значит,(по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке), 0 0,

а потому x_n сходится к a в .

Пример 3 x_n = , , .

при n .

Так как не стремится к нулю, то x_n не сходится к a в l₃.

Пример 4 x_n = , , .

при n .

Пример 5 .

Решение dt

.

Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Обозначим f_n(t) = . Функция f_n(t) является интегрируемой на [0;1] для любого , и f₁(x) f₂(x) … f_n(t) … 0. Кроме того, .Значит, по теореме Б. Леви

dt = 0.

Пример 6 x_n(t)= , a(t) = t , X = L₁[0;1] .

dt dt

при (мы воспользовались тем, что при ). Значит, x_n сходится к a в L₁[0;1].

2 Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве X?

Пример 1 X = C_L[a;b] – пространство непрерывных функцийс метрикой dt.

Условие: последовательность x_n(t) поточечно сходится к непрерывной функции a(t).

Решение Не нарушая общности, можем считать, что a=, b=1. Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным. Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность x_n, заданную на [0;1] графически:

Последовательность x_nсходится к a 0 поточечно на [0;1] (почему?), но

dt = dt = =1,

то есть не стремится к нулю. Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве C_L[a;b].

Теперь допустим, что x_n a в C_L[0;1], то есть dt 0 при . Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная сходимость x_n к a. Рассмотримпоследовательность x_n(t) = t n и функцию a(t) 0. Имеем

dt 0 при .

Значит, x_n a=0 в C_L[0;1]. Но t n не сходится к a = 0 поточечно, так как t n 1 при t = 1. Значит, данное условие не является необходимым для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве С_L[a;b].

Пример 2 X = l₂. Условие: , где .

Решение Положим . Тогда данное условие означает, что при . Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности x_n к а в пространстве l₂. Поскольку при выполнении этого условия

источник